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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\begin{center}
	\textsf{\LARGE \lieu{}, \serie{}, \jour{} \mois{} \annee}
\end{center}

\begin{center}
	\textsf{\faDice\:\:{\large Épreuve UF2 - Mathématiques Approfondies}\:\:\faChartLine}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsf{\Large Exercice 1\dotfill(10 points)}}%exo1

\medskip

Un magasin vend des téléphones portables et souhaite proposer à ses acheteurs de souscrire un contrat d'assurance. 

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de marché}

\medskip

Avant la date de mettre en place son assurance, le magasin a commandé une étude permettant d'observer les habitudes d'un échantillon représentatif d'acheteurs. Elle a obtenu les informations suivantes :

\begin{itemize}
	\item 78\,\% des acheteurs de l'échantillon ont moins de 30 ans ;
	\item parmi les acheteurs de moins de 30 ans, 4\,\% souscrivent un contrat d'assurance ;
	\item 14\,\% des acheteurs qui ont 30 ans ou plus souscrivent un contrat d'assurance.
\end{itemize}

On choisit un acheteur au hasard dans cet échantillon.

On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
	\item[] $T$: « l'acheteur a moins de 30 ans » ;
	\item[] $A$ : « l'acheteur souscrit un contrat d'assurance ».
\end{itemize}

On rappelle que, quel que soit l'événement E, on note $\overline{E}$ son événement contraire.

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
	
	\begin{Centrage}
		\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{$T$/\numdots/,$A$/\numdots/,$\overline{A}$/\numdots/,$\overline{T}$/\numdots/,$A$/\numdots/,$\overline{A}$/\numdots/}
	\end{Centrage}
	\item Calculer la probabilité que l'acheteur ait moins de 30 ans et souscrive un contrat d'assurance. 
	\item Montrer que la probabilité que l'acheteur souscrive un contrat d'assurance est égale à \num{0,062}.
	\item Sachant qu'un acheteur a souscrit un contrat d'assurance, quelle est la probabilité qu'il ait moins de 30 ans? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie A : Étude après commercialisation}

\medskip

Pour la première phase de commercialisation de son contrat d'assurance, le magasin a vendu 100 téléphones.

On considère que cette phase de commercialisation revient à effectuer un prélèvement de 100 acheteurs avec remise parmi un très grand nombre d'acheteurs. On suppose que l'échantillon de la partie A était représentatif, c'est-à-dire que la probabilité qu'un acheteur 
de téléphone prélevé au hasard souscrive un contrat d'assurance est égale à \num{0,062}.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 100 acheteurs, associe le nombre d'acheteurs qui ont souscrit un contrat d'assurance. 

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = \num{0,062}$.
		\item Calculer la probabilité qu’exactement 7 acheteurs souscrivent un contrat d’assurance. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
		\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.
		\item Pour chaque téléphone vendu, le magasin reçoit une prime de \num{7,50} euros si l'acheteur souscrit un contrat d'assurance.
		
		En moyenne, quel est le montant total des primes que percevra le magasin ?
	\end{enumerate}
	\item Pour approfondir son étude, la société décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = \num{6,2}$. On note $Y$ la variable aléatoire suivant cette loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le choix de $\lambda = \num{6,2}$.
		\item Calculer $P(Y \geqslant 5)$, puis interpréter ce résultat. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins un acheteur souscrive un contrat d'assurance.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{5mm}

\textbf{\textsf{\Large Exercice 2\dotfill(10 points)}}%exo2

\medskip

Une société conçoit et commercialise un jeu vidéo d'aventure.

\medskip

\textbf{Partie A : Gain de niveau et points d'expérience -- étude statistique} 

\medskip

Ce jeu est constitué de plusieurs niveaux. Un joueur débute au niveau 1 et peut passer au  niveau supérieur en gagnant des points d'expérience. 

Pour tout entier naturel $n$, non nul, on note $x_n$ le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$.

Le tableau ci-dessous indique, pour quelques niveaux, le nombre de points d'expérience 
nécessaires (en milliers) pour passer au niveau suivant :

\begin{Centrage}
	\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.975\linewidth,colspec={Q[10cm,m]*{5}{X[m,c]}}}
		Niveau $n$ & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\
		Nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$ & 220 & 256 & 283 & 304 & 321 \\
	\end{tblr}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\big(n; x_n\big)$.
	
	Arrondir le résultat au centième.
	\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de 
	$x_n$ en $n$, sous la forme $x_n = an + b$.
	\item À l'aide de l'équation de la droite de régression trouvée précédemment, estimer le 
	nombre de points d'expérience nécessaires pour passer du niveau 20 au niveau 21.
	
	Arrondir le résultat à 1 près.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B : Gain de niveau et points d'expérience -- étude de fonction}

\medskip

La société n'est pas satisfaite de la valeur de $r$ trouvée en partie A, qu'elle estime trop  éloignée de 1. Elle choisit une autre méthode.

\smallskip

Pour cela, elle considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFF{1}{100}$ par $f(x) = 100\,\ln(2x + 5)$.

On admet que pour tout entier naturel $n$, non nul, $f(n)$ modélise le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{1}{100}$, $f'(x) =\dfrac{200}{2x+5}$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\IntervalleFF{1}{100}$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\IntervalleFF{1}{100}$. On arrondira la valeur des images à l'unité. 
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre sur $\IntervalleFF{1}{100}$, l'équation $f(x) = 500$. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 1 près.
		\item En déduire le premier niveau à partir duquel au moins \num{500000} points d'expérience sont nécessaires pour passer au niveau suivant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C : Étude des gains d'Ether}

\medskip

La monnaie du jeu s'appelle l'\underline{Ether} (symbolisé par E). Un joueur débute avec une somme de \num{50000} E. Les règles sont telles que chaque nouvelle heure supplémentaire jouée 
augmente la somme détenue par le joueur de 2\,\%.

\smallskip

Pour tout entier naturel, un modélise la somme détenue par le joueur après avoir joué $n$ heures.

Ainsi on a $u_0 = \num{50000}$.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$.
		\item Vérifier que $u_2 = \num{52020}$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item Déterminer la nature de la suite $\Suite{u}$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire, à l'unité près, la somme détenue après avoir joué 7 heures.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\setcounter{page}{1}

%-----CORRECTION-----%

\begin{center}
	\textsf{\LARGE \lieu{}, \serie{}, \jour{} \mois{} \annee}
\end{center}

\begin{center}
	\textsf{\faDice\:\:{\large Épreuve UF2 - Mathématiques Approfondies}\:\:\faChartLine}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsf{\Large Exercice 1\dotfill(10 points)}}%exo1c

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de marché}

\begin{enumerate}
	\item On obtient (d'après les données de l'énoncé) l'arbre suivant :
	
	\begin{Centrage}
		\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{$T$/\num{0.78}/,$A$/\num{0.04}/,$\overline{A}$/\num{0.96}/,$\overline{T}$/\num{0.22}/,$A$/\num{0.14}/,$\overline{A}$/\num{0.86}/}
	\end{Centrage}
	\item D'après la formule des probabilités composées, $P(T \cap A) = P(T) \times P_T(A) = \num{0.78}\times\num{0.04}=\num{\xintfloateval{0.78*0.04}}$.
	
	Ainsi, la probabilité que l'acheteur ait moins de 30 ans et souscrive un contrat d'assurance est de \num{\xintfloateval{0.78*0.04}}.
	\item On cherche $P(A)$, et d'après la formule des probabilités totales :
	
	$P(A)=P(T \cap A)+P\big(\overline{T} \cap A\big)=\num{\xintfloateval{0.78*0.04}}+\num{0.22}\times\num{0.14}=\num{\xintfloateval{0.78*0.04+0.22*0.14}}$.
	\item On cherche $P_A(T)$, et d'après la formule des probabilités conditionnelles :
	
	$P_A(T)=\dfrac{P(T \cap A)}{P(A)}=\dfrac{\num{\xintfloateval{0.78*0.04}}}{\num{\xintfloateval{0.78*0.04+0.22*0.14}}} \approx \Arrondi[3]{(0.78*0.04)/(0.78*0.04+0.22*0.14)}$.
	
	Ainsi, sachant qu'un acheteur a souscrit un contrat d'assurance, la probabilité qu'il ait moins de 30 ans est d'environ \Arrondi[3]{(0.78*0.04)/(0.78*0.04+0.22*0.14)} (au millième).
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie A : Étude après commercialisation}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On répète, de manière indépendante (\og très grand nombre d'acheteurs \fg), la même expérience à deux issues (de succès l'évènement $A$, de probabilité \num{0.062}). On est donc face à un schéma de Bernoulli de paramètres $n=100$ et $p=\num{0.062}$. De plus, $X$ compte le nombre de succès, donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = \num{0,062}$.
		\item On a $P(X=7) \approx \BinomP[3]{100}{0.062}{7}$ au millième.
		
		Ainsi la probabilité qu’exactement 7 acheteurs souscrivent un contrat d’assurance est d'environ \BinomP[3]{100}{0.062}{7} (au millième).
		\item On a $\Esper{X}=n\times p = 100 \times \num{0.062} = \num{\xintfloateval{100*0.062}}$.
		\item Pour chaque téléphone vendu, le magasin reçoit une prime de \num{7,50} euros si l'acheteur souscrit un contrat d'assurance.
		
		En moyenne, le montant total des primes que percevra le magasin est de $\num{7.50}\times \num{6.2} = \num{\xintfloateval{7.5*6.2}}$ euros.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On sait que, dans le cas où une loi binomiale est approchée par une loi de Poisson, que $\lambda=n\times p$ (conservation de l'espérance).
		
		Ainsi on a bien $\lambda = \num{6,2}$.
		\item On a $P(Y \geqslant 5) = 1 - P(Y \leqslant 4) \approx \PoissonC[3]{6.2}{5}{*}$ (au millième).
		\item On a $P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y =0) \approx \PoissonC[3]{6.2}{1}{*}$ (au millième).
		
		Ainsi la probabilité qu'au moins un acheteur souscrive un contrat d'assurance est d'environ \PoissonC[3]{6.2}{1}{*} (au millième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{\textsf{\Large Exercice 2\dotfill(10 points)}}%exo2c

\def\LLX{2,4,6,8,10}\def\LLY{220,256,283,304,321}\CalculsRegLin{\LLX}{\LLY}

\medskip

\textbf{Partie A : Gain de niveau et points d'expérience -- étude statistique} 

\begin{enumerate}
	\item La calculatrice nous donne $r \approx \Arrondi[2]{\COEFFr}$ au centième.
	\item La calculatrice nous donne $\begin{dcases} a = \num{\COEFFa} \\ b = \num{\COEFFb} \end{dcases}$.
	
	Ainsi une équation de la droite de régression de $x_n$ en $n$ est $x_n = \num{\COEFFa}n + \num{\COEFFb}$.
	\item Passer du niveau 20 au niveau 21 correspond à $n=20$. Et $x_{20} = \num{\COEFFa} \times 20 + \num{\COEFFb} = \num{\xintfloateval{\COEFFa*20+\COEFFb}}$.
	
	Ainsi, pour passer du niveau 20 au niveau 21, il faut \num{\xintfloateval{1000*(\COEFFa*20+\COEFFb)}} points d'expérience.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B : Gain de niveau et points d'expérience -- étude de fonction}

\begin{enumerate}
	\item Par produit et composées de fonctions dérivables, la fonction $f$ est dérivable sur  $\IntervalleFF{1}{100}$.
	
	Et $f'(x)=100 \times \dfrac{(2x+5)'}{2x+5}=100\times \dfrac{2}{2x+5} = \dfrac{200}{2x+5}$ pour tout réel $x$ de $\IntervalleFF{1}{100}$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur $\IntervalleFF{1}{100}$, $2x+5>0$, donc par quotient, $f(x) > 0$ sur $\IntervalleFF{1}{100}$.
		
		Ainsi on en déduit que  $f$ est strictement croissante sur $\IntervalleFF{1}{100}$.
		\item On obtient le tableau de variations :
		
		\begin{Centrage}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$1$,$100$}
				\tkzTabLine{,+,}
				\tkzTabVar{-/$\Arrondi[0]{100*log(2*1+5)}$,+/$\Arrondi[0]{100*log(2*100+5)}$}
			\end{tikzpicture}
		\end{Centrage}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 500 \Leftrightarrow 100\,\ln(2x+5)=500 \Leftrightarrow \ln(2x+5)=5 \Leftrightarrow 2x+5=\e^{5} \Leftrightarrow 2x = \e^{5}-5 \Leftrightarrow x = \dfrac{\e^{5}-5}{2} \approx \Arrondi[0]{(exp(5)-5)/2}$.
		\item D'après la question précédente, on en déduit qu'à partir du niveau \Arrondi[0]{(exp(5)-5)/2}, au moins \num{500000} points d'expérience sont nécessaires pour passer au niveau suivant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C : Étude des gains d'Ether}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Augmenter de 2\,\% revient à multiplier par \num{1.02}.
		
		On a donc $u_1 = \num{50000} \times \num{1.02} = \num{\xintfloateval{50000*1.02}}$.
		\item On a $u_2 =  \num{\xintfloateval{50000*1.02}} \times \num{1.02} = \num{\xintfloateval{50000*1.02^2}}$.
		
		Ainsi, au bout de 2 heures, la somme détenue par le joueur est de \num{52020}~E.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item De même que précédemment, on peut écrire $u_{n+1}=u_n \times \num{1.02}$ pour tout entier naturel $n$.
		\item On en déduit que la suite $\Suite{u}$ est géométrique de raison $q=\num{1.02}$ et de premier terme $u_0=\num{50000}$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $\Suite{u}$ est géométrique, on a $u_n=u_0\times q^n = \num{50000} \times \num{1.02}^n$ pour tout entier $n$.
		\item On a $u_7 = \num{50000} \times \num{1.02}^7 \approx \Arrondi[0]{50000*1.02^7}$ (à l'unité).
		
		Ainsi, la somme détenue après avoir joué 7 heures est d'environ \Arrondi[0]{50000*1.02^7}~E.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}